🎓 INSTITUT MBACKÉ MATHS

1.a. Donner en utilisant ce tableau la limite suivante : \[ \lim_{x\to+\infty} f(\sqrt{x}) \]

1.b. Donner en utilisant ce tableau la limite suivante : \[ \lim_{x\to-\infty} f\left(-1+\frac1x\right) \]

1.c. Donner en utilisant ce tableau la limite suivante : \[ \lim_{x\to-1^+}\frac{-5}{f(x)+3} \]

1.d. Donner en utilisant ce tableau la limite suivante : \[ \lim_{x\to0^-}\left(5-f\left(\frac1x\right)\right) \]

2.a. Déterminer le nombre de solutions dans \(D_f\) de l’équation : \[ f(x)=5 \]

2.b. Déterminer le nombre de solutions dans \(D_f\) de l’équation : \[ f(x)+8=1 \]

3. Montrer que l’équation \(f(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha>0\).

Quelle affirmation correspond au tableau ?

3. En déduire le signe de \(f(x)\) suivant les valeurs de \(x\).

4.a. On suppose que \(f\) est dérivable sur \(D_f\).

Préciser le nombre dérivé de \(f\) en \(-1\) en le justifiant clairement.

4.b. Dresser le tableau de signe de \(f’\), dérivée de \(f\).

5.a. On suppose maintenant que le point d’abscisse \(-1\) est un point anguleux de \((C_f)\) à demi-tangentes non verticales.

Préciser le signe des nombres dérivés de \(f\) à gauche et à droite en \(-1\).

5.b. \((C_f)\) peut-elle présenter une demi-tangente horizontale à gauche ou à droite au point d’abscisse \(-1\) ?

6. Soit \(g\) une fonction dérivable sur \(D\), telle que \[ g'(x)=\frac{(x+2)f(x)}{x^3}. \] Sur \(]-\infty,-2[\), quel est le signe de \(g'(x)\) ?

6. Sur \(]-2,0[\), quel est le signe de \(g'(x)\) ?

6. Sur \(]0,\alpha[\), quel est le signe de \(g'(x)\) ?

6. Sur \(]\alpha,+\infty[\), quel est le signe de \(g'(x)\) ?

7. D’après le tableau, sur quel intervalle la fonction \(f\) est-elle croissante avant la séparation en \(0\) ?

8. D’après le tableau, quelle valeur maximale est indiquée pour \(f\) sur la première branche ?

9. Lorsque \(x\to+\infty\), vers quelle valeur tend \(f(x)\) d’après le tableau ?

10. Quel est le comportement de \(f\) sur la branche située à droite de \(0\) ?